Relativité Restreinte

La fameuse dilatation du temps.....

Soit un repère galiléen R1 supposé « fixe », les coordonnées d’un événement dans ce repère « fixe » peuvent être représentées par un quadri-vecteur (x1, y1, z1 et c*t1) où c est la vitesse de la lumière. x1, y1, z1 représentent les coordonnées spatiales de l’événement et c*t1 la coordonnée temporelle de cet événement.

Considérons maintenant un repère galiléen R2 en translation rectiligne uniforme par rapport au repère R1 selon l’axe des x et ayant une vitesse v par rapport à R1.

Les coordonnées d’un événement dans ce repère « mobile » par rapport à R1 sont (x2, y2, z2 et c*t2).

Les équations de transformation de Lorentz (qui prennent en compte les effets relativistes) permettent de passer de R2 vers R1 en transformant les coordonnées d’un événement :

x1 = Gamma * (x2 + v * t2) (Equ 1) t1 = Gamma * (t2 + (v / c²) * x2) (Equ 2)

mais aussi de passer de R1 vers R2 :
x2 = Gamma * (x1 - v * t1) (Equ 3) t2 = Gamma * (t1 - (v / c²) * x1) (Equ 4)

y et z sont supposés invariants car le mouvement de R2 par rapport à R1 est uniquement selon l’axe des x.

Gamma = 1 / (racine carrée (V² /c²)) La valeur de Gamma est toujours supérieure à 1 !

En fait la symétrie est complète entre R1 et R2 : La vitesse étant relative on peut considérer R1 comme fixe et R2 mobile par rapport à R1 (avec une vitesse v) ou symétriquement R2 fixe et R1 mobile par rapport à R2 avec une vitesse (- v).

De fait pour passer d’un système d’équations à l’autre, il suffit de transformer v en (- v).

Pour une meilleure compréhension, restons sur le point de vue où R1 est fixe et R2 mobile.

Premier cas :

Considérons un phénomène dans R2 (succession d’événements) : On mesure dans R2 mobile, la durée du phénomène se passant dans R2.

L’observateur de R2 est solidaire du phénomène, il ne « bouge » pas par rapport à ce phénomène.

La mesure de la durée du phénomène se passera au même endroit c’est donc ce qu’on appelle un temps propre à R2. Le phénomène se passant au même endroit dans R2 nous avons donc :

x2a = x2b (i)

La durée de ce phénomène dans R2 repère mobile est le temps propre à R2 soit :
t2b – t2a

Question : Essayons de calculer la durée de ce phénomène dans R1 qui est fixe :

Pour se servir de l’égalité (i) , il nous faut utiliser l’équation (Equ 2) qui utilise x2 :

t1b – t1a = Gamma * (t2b – t2a) + Gamma * (v / c²) * (x2b – x2a)

comme x2b = x2a, nous obtenons :
t1b – t1a = Gamma * (t2b – t2a)

Comme Gamma > 1 nous avons :
t1b – t1a > (t2b – t2a)


La durée du phénomène se passant dans R2, mesurée dans le repère fixe R1 est supérieure à la durée mesurée dans le repère mobile R2, durée propre à R2.

On dit qu’il y a dilatation du temps dans le repère fixe par rapport au repère mobile (Le phénomène avait lieu dans le repère mobile et nous l’avons également mesuré dans le repère fixe)

Deuxième cas :

On mesure dans R1 fixe, la durée d’un phénomène se passant dans R1.

L’observateur de R1 est solidaire du phénomène, il ne « bouge » pas par rapport à ce phénomène. La mesure de la durée du phénomène se passera au même endroit c’est un temps propre à R1. Le phénomène se passant au même endroit dans R1 nous avons :

x1a = x1b (ii)

La durée de ce phénomène dans R1 repère fixe est le temps propre à R1 soit :
t1b – t1a
Question : Essayons de calculer la durée de ce phénomène dans R2 qui est mobile :

Pour se servir de l’égalité (ii) , il nous faut cette fois utiliser l’équation (Equ 4) :

t2b – t2a = Gamma * (t1b – t1a) + Gamma * (v / c²) * (x1b – x1a)
comme x1b = x1a, nous obtenons :
t2b – t2a = Gamma * (t1b – t1a)
Comme Gamma > 1 nous obtenons :
t2b – t2a > (t1b – t1a)

La durée mesurée dans le repère mobile R2, d’un phénomène se passant dans le repère R1 fixe est supérieure à la durée mesurée dans le repère fixe R1, durée propre à R1 car mesurée au même endroit dans R1.

On dit qu’il y a dilatation du temps dans le repère mobile par rapport au repère fixe. (Le phénomène avait lieu dans le repère fixe et nous l’avons également mesuré dans le repère mobile)

NB : C’est exactement le contraire du cas numéro un ! On se rend donc compte que ce n’est pas le fait d’être mobile ou fixe qui créée la dilatation du temps. En fait, on montre que tout temps mesuré quelque soit l’observateur et sa vitesse relative, est toujours supérieur au temps propre qu’un observateur immobile par rapport au phénomène mesure.

Il est compréhensible qu’il y ait symétrie des effets puisque les vitesses sont relatives. Pour reprendre l’exemple célèbre du cosmonaute dans la fusée voyageant presque à la vitesse de la lumière et du terrien :

Le Terrien voit le cosmonaute vieillir moins vite que lui (Cas n° 1), mais de la même manière, le cosmonaute voit lui le Terrien vieillir moins vite que lui (Cas n° 2).

Les deux réalités (ce ne sont pas des illusions) sont vraies en même temps et ne dépendent que de l’observateur !



La fameuse contraction des longueurs.....

Troisième cas :

Considérons la mesure d’une longueur d’un objet placé dans R2, repère mobile :

L’observateur de R2 est solidaire de la longueur mesurée et la mesure de la longueur s’effectuera en une seule fois dans R2 : c’est donc ce qu’on appelle une longueur propre à R2.

Question : Essayons de mesurer la longueur de cet objet dans le repère R1 qui est fixe :

La mesure de la longueur étant effectuée en une seule fois dans R1 (nous devons en effet mesurer simultanément les deux extrémités de l’objet), nous avons donc :

t1b = t1a (iii)
Pour se servir de l’égalité (iii) , il nous faut utiliser l’équation (Equ 3) qui utilise t1 :

x2b – x2a = Gamma * (x1b – x1a) + Gamma * (v / c²) * (t1b – t1a)
comme t1b = t1a, nous obtenons :
x2b – x2a = Gamma * (x1b – x1a)

soit (x1b – x1a) = (x2b –x2a) / Gamma
Comme Gamma > 1 nous avons :
x1b – x1a < (x2b – x2a)

La longueur d’un objet placé dans R2, mesurée dans le repère R1 fixe est inférieure à la longueur propre à R2 mobile.

On dit qu’il y a contraction des longueurs dans le repère fixe par rapport au repère mobile.

Quatrième cas :

On mesure dans R1 fixe, la longueur d’un objet placé dans R1.

L’observateur de R1 est solidaire du phénomène, la mesure dans R1 sera effectuée en une fois : C’est donc une longueur propre à R1

Question : Essayons de calculer la longueur de cet objet placé dans R1, dans le repère R2 qui est mobile :

La mesure étant effectuée en une seule fois dans R2 nous avons :

t2b = t2a (iv)
Pour se servir de l’égalité (iv) , il nous faut cette fois utiliser l’équation (Equ 1) :

x1b – x1a = Gamma * (x2b – x2a) + Gamma * (v / c²) * (t2b – t2a)
comme t2b = t2a, nous obtenons :
x1b – x1a = Gamma * (x2b – x2a)
soit x2b – x2a = (x1b – x1a) / Gamma
Comme Gamma > 1 nous obtenons :
x2b – x2a < (x1b– x1a)

La longueur d’un objet placé dans le repère fixe R1 mesurée dans le repère R2 fixe est inférieure à la longueur propre à R1.

On dit qu’il y a contraction des longueurs dans le repère mobile par rapport au repère fixe.

NB : C’est exactement le contraire du cas numéro trois ! On se rend donc compte que ce n’est pas le fait d’être mobile ou fixe qui créée la contraction des longueurs. En fait, on montre que toute longueur mesurée quelque soit l’observateur et sa vitesse relative, est toujours inférieur à la longueur propre qu’un observateur immobile par rapport à la mesure.

Il est compréhensible qu’il y ait symétrie des effets puisque les vitesses sont relatives. Pour reprendre l’exemple célèbre du cosmonaute dans la fusée voyageant presque à la vitesse de la lumière et du terrien :

Le Terrien voit la fusée diminuer de longueur (Cas n° 3), mais de la même manière, le cosmonaute voit lui un objet Terrien diminuer également de longueur (Cas n° 4).

Les deux réalités (ce ne sont pas des illusions) sont vraies en même temps et ne dépendent que de l’observateur !

En Résumé.....

Une très bonne illustration de ces phénomènes de dilatation du temps et contraction des longueurs est l’exemple du coureur de 100 mètres.

Considérons un sprinter courant le 100 m sur une piste ou se tient un juge.

Référentiel « fixe » : La piste qui s’étend du point de départ A au point d’arrivée B situé 100 m plus loin avec le juge positionné en B avec son chronomètre. Référentiel « mobile » : Le coureur qui possède également son propre chronomètre attaché à son poignet et qui donc part du point A pour franchir la ligne d’arrivée au point B.

Considérons la distance (longueur) et le temps :

Dans le référentiel « fixe » : La longueur de la piste, immuable dans ce référentiel fixe, est de 100m. C’est une longueur propre. C’est la distance considérée par le juge.

Dans le référentiel « mobile » : Le coureur part du point A puis arrive quelques secondes plus tard au point B. La mesure que le coureur peut effectuer n’est pas simultanée en A et B. La longueur de la piste n’est donc pas une longueur propre pour le référentiel « mobile » : Le coureur parcoura une longueur contractée inférieure aux 100 m vue par le juge.

Dans le référentiel « mobile » : Le coureur mesure son temps de parcours sur son chronomètre. Ce chronomètre est solidaire du coureur et du référentiel mobile. Le temps mesuré par ce chronomètre fixe dans le référentiel, est bien mesuré au même endroit dans le référentiel mobile : c’est donc bien un temps propre pour ce référentiel mobile. Le coureur mesurera par exemple 10 secondes. Dans le référentiel « fixe » : Le juge mesurera le temps de course en deux endroits différents : En effet il mesurera le temps de départ au point A et le temps d’arrivée au point B. Ce que le juge mesurera n’est pas un temps propre dans son référentiel fixe. Le juge verra donc une dilatation du temps par rapport au temps propre du coureur. Le juge mesurera un temps supérieur aux 10 secondes mesurée avec le chronomètre du coureur.

En résumé :

La piste est partie prenante du référentiel fixe : Sa longueur est une longueur propre dans ce référentiel. Toute autre longueur mesuré dans un autre référentiel (par exemple celui du coureur) sera inférieur à cette longueur propre (contraction des longueurs)

Le temps mesuré par le chronomètre du coureur est solidaire du référentiel mobile : ce temps est un temps propre dans ce référentiel. Toute autre durée mesurés dans un autre référentiel (par exemple celui du juge) sera supérieur à ce temps propre (dilatation du temps)